Question

【题目】在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．

（1）证明：△ABD≌△BAC．

（2）四边形AHBG是什么样的四边形，请猜想并证明．

（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC添加一个什么条件？请添加条件并证明．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) 四边形AHBG是菱形,理由见解析;(3) 需要添加的条件是AB=BC,理由见解析

【解析】

（1）可根据已知条件∠ABC=∠BAD=90°，AB=BA，AC=BD即可得到△ABC≌△BAD．

（2）由已知可得四边形AHBG是平行四边形，由（1）可知∠ABD=∠BAC，得到△GAB为等腰三角形，AHBG的两邻边相等，从而得到平行四边形AHBG是菱形．

（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形，进行判断即可．

（1）∵∠ABC=∠BAD=90°，AB=BA，AC=BD，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．

（2）四边形AHBG是菱形．

证明：∵AH∥GB，BH∥GA，

∴四边形AHBG是平行四边形．

∵△ABC≌△BAD，

∴∠ABD=∠BAC，

∴GA=GB，

∴平行四边形AHBG是菱形．

（3）需要添加的条件是AB=BC．

证明：∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAG=45°，

又∵△ABC≌△BAD，

∴∠ABG=∠BAG=45°，

∴∠AGB=90°，

∴菱形AHBG是正方形．