Question

15．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E．
（1）求证：BD=BE；
（2）若DE=2，BD=$\sqrt{5}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1））设∠BAD=α，由于AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD=α，进而求出∠D=∠BED=90°-α，从而可知BD=BE；
（2）设CE=x，由于AB是⊙O的直径，∠AFB=90°，又因为BD=BE，DE=2，FE=FD=1，由于BD=$\sqrt{5}$，所以tanα=$\frac{1}{2}$，从而可求出AB=$\frac{BF}{sinα}$=2$\sqrt{5}$，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．

解答 解：（1）设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD=α，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-2α，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠DBE=2α，
∠BED=∠BAD+∠ABC=90°-α，
∴∠D=180°-∠DBE-∠BED=90°-α，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE
（2）设AD交⊙O于点F，CE=x，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵BD=BE，DE=2，
∴FE=FD=1，
∵BD=$\sqrt{5}$，
∴tanα=$\frac{1}{2}$，
∴AC=2x
∴AB=$\frac{BF}{sinα}$=2$\sqrt{5}$
在Rt△ABC中，
由勾股定理可知：（2x）²+（x+$\sqrt{5}$）²=（2$\sqrt{5}$）²，
∴解得：x=-$\sqrt{5}$或x=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴CE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；

点评 本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解方程等知识，综合程度较高，属于中等题型．