Question

如图，直线y=3x与双曲线y=

k

x

的两个交点分别为A （1，m）和B．
（1）直接写出点B坐标，并求出双曲线y=

k

x

的表达式；
（2）若点P为双曲线y=

k

x

上的点（点P不与A、B重合），且满足PO=OB，直接写出点P坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）把A点坐标代入y=3x，可求得m的值，可求得A点坐标，根据对称性质可直接得到B点坐标，把A点坐标代入双曲线可求得k的值，可求得双曲线的表达式；
（2）根据条件可求得OB，设出P点坐标，根据条件可得到P点坐标的方程，可求得答案．

解答：解：
（1）∵A、B关于原点对称，
∴点B坐标为（-1，-3），
∵直线y=3x过点A（1，m），
∴m=3×1=3，
∴A（1，3），
将A（1，3）代入y=

k

x

中，得 k=xy=1×3=3，
∴y=

3

x

；
（2）设P点坐标为（x，

3

x

），则OP=x²+

9

x2

由（1）可求得OB²=10，
∵OB=OP，
∴x²+

9

x2

=10，
解得x=1（舍去）或x=-1（舍去）或x=3或x=-3，
∴P₁（-3，-1），P₂（3，1）．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数交点问题，掌握函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键．