Question

【题目】如图，在平行四边形中，∠BAD的平分线交于E，点在上，且，连接．

(1) 判断四边形的形状并证明；

(2) 若、相交于点，且四边形的周长为， ，求的长度及四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）四边形是菱形，证明略，（2）AE=8；四边形ABEF的面积是24

【解析】试题分析：（1）由角平分线的定义可得∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质可得∠FAE=∠AEB，然后证明AF=BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB=AF可得四边形ABEF为菱形；

（2）根据菱形的性质可得AE⊥BF，BO=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AE的长，根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出结论．

试题解析：解：（1）∵AE是∠BAF的角平分线，∴∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．∵AB=AF，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；

（2）∵四边形ABEF为菱形，且周长为20，∴AB=5，AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8，菱形ABEF面积=AE×BF=×8×6=24．