Question

20．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=16，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，
①若连结AP、PE，则PE+AP最小值为20；
②连结PA、QE，若PQ=6，当CQ=$\frac{10}{3}$时，四边形APQE的周长最小．

Answer 1

分析 ①延长AB到M，使BM=AB，则A和M关于BC对称，连接EM交BC于P，此时AP+EP的值最小，作作EN⊥AB，根据勾股定理求出EM长；
②点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，证△MNQ∽△FCQ即可．

解答 解：①如图1，延长AB到M，使BM=AB=8，则A和M关于BC对称，连接EM交BC于P，此时AP+EP的值最小，AP+PE=EM，
作EN⊥AB，
∴EN=AD=16，BN=$\frac{1}{2}$AB=4，BM=AB=8，
∴MN=12，
∴EM=$\sqrt{E{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\sqrt{1{6}^{2}+1{2}^{2}}$=20．
②如图2，点A向右平移6个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，
∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ=MQ+EQ过M作MN⊥BC于N，
设CQ=x，则NQ=16-6-x=10-x，
∵△MNQ∽△FCQ，
∴$\frac{MN}{CF}=\frac{NQ}{CQ}$，
∵MN=AB=8，CF=CE=4，CQ=x，QN=10-x，
解得：x=$\frac{10}{3}$．
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，但是一道难度偏大的题目，对学生提出较高的要求．