Question

10．如图，⊙O是△ABC 的外接圆，AB=AC，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，连接AD．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=$\sqrt{5}$，BC=4，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA交BC于点E，根据垂径定理的推论求得OA⊥BC，然后根据平行线的性质证得∠PAO=90°，即可证得结论．
（2）根据勾股定理求得AE，得出tanC=$\frac{AE}{CE}=\frac{1}{2}$，根据∠D=∠C，得出tanD=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{1}{2}$，从而求得AD的长．

解答 （1）证明：连接OA交BC于点E，
由AB=AC可得OA⊥BC，
∵PA∥BC，
∴∠PAO=∠BEO=90°．
∵OA为⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线．
（2）解：根据（1）可得CE=$\frac{1}{2}$BC=2．
Rt△ACE中，$AE=\sqrt{A{C^2}-C{E^2}}=1$，
∴tanC=$\frac{AE}{CE}=\frac{1}{2}$．
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
又∵∠D=∠C，
∴tanD=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=$\frac{AB}{tanD}=2\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，正切函数的应用等；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．