Question

若△ABC的三边分别为a、b、c，且a²+b²+c²＜6．证明：可以用一个单位圆覆盖△ABC．

Answer 1

证明：分两种情况：
①当△ABC为钝角三角形时，
不妨设c是最长边，此时，∠C＞90°为钝角，
∴以c为直径的圆必然覆盖△ABC．
只需证明直径c＜2即可．
根据柯西不等式：
a²+b²≥（a+b）²＞（c²），
∴a²+b²+c²＞（c²）+c²=（c²）
∴（c²）＜6 即：c²＜4
∴c＜2；
②当△ABC为锐角三角形时，
△ABC的外接圆必然可以覆盖它，
只需证明外接圆半径R＜1；
根据正弦定理：
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
即得：4（R²）[（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²]＜6，
应用三角恒等式：
（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC＞2【用二倍角与和差化积易证】
∴8（R²）＜4（R²）[（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²]＜6
∴R²＜3/4＜1，
∴R＜1．
综上所述：用单位圆可以覆盖△ABC．
分析：只需要证明直径小于2或者半径小于1即可．根据已知条件，将三角形分为钝角三角形，锐角三角形两种情况分别证明．
点评：本题考查了三角形外接圆性质的运用．根据已知条件将三角形分类，运用特殊不等式解题．