Question

9．已知：在梯形ABCD中．AD∥BC，∠ABC=90°，∠BDC=90°，BC=2AD，E，F分别是BC、DC的中点．连接AE、EF、AC，连接BD，交AE于点G．
求证：四边形EFDG是正方形．

Answer 1

分析 欲证明四边形EFDG是正方形，只需证得四边形EFDG是矩形，然后推知GD=DE，即可得四边形EFDG是正方形．

解答 证明：连接DE，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF∥BD，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE∥DC，
∴四边形EFDG是平行四边形，
又∠BDC=90°，
∴四边形EFDG是矩形．
∵AD∥BE且AD=BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵∠ABE=90°，
∴平行四边形ABED是矩形，
∴AE=BD，
∴GD=GE，
∴平行四边形EFDG是正方形．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及正方形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．