[题目]如图, △ABC中, AB = AC, E在BC上, D在AE上. 则下列说法中正确的有( ) ①若E为BC中点, 则有BD = CD; ②若BD = CD, 则E为BC中点; ③若AE⊥BC, 则有BD = CD; ④若BD = CD, 则AE⊥BC. A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图, △ABC中, AB = AC, E在BC上, D在AE上. 则下列说法中正确的有( )

①若E为BC中点, 则有BD = CD; ②若BD = CD, 则E为BC中点;

③若AE⊥BC, 则有BD = CD; ④若BD = CD, 则AE⊥BC.

A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④

【答案】D

【解析】试题分析：①若E为BC中点, 则三线合一，AE⊥BC，所以BD = CD; ②若BD = CD,可证得ABDACD,继而得到,所以AE是的角平分线，BC的垂直平分线，故E是BC的中点；③若AE⊥BC, 则三线合一，AE是BC的垂直平分线，得到BD=CD; ④若BD = CD, 则可证得ABDACD,继而得到,所以AE是的角平分线，BC的垂直平分线，故AE⊥BC. 所以选D.

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【题目】探索发现：
如图1，已知直线l1∥l2 ，且l3和l1、l2分别相交于A、B两点，l4和l1、l2分别交于C、D两点，∠ACP记作∠1，∠BDP记作∠2，∠CPD记作∠3．点P在线段AB上．

（1）若∠1=20°，∠2=30°，请你求出∠3的度数．
（2）请你根据上述问题，请你找出图1中∠1、∠2、∠3之间的数量关系，并直接写出你的结论．
（3）应用（2）中的结论解答下列问题：如图2，点A在B的北偏东 40°的方向上，在C的北偏西45°的方向上，请你根据上述结论直接写出∠BAC的度数．
拓展延伸：
（4）如果点P在直线l3上且在A、B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B两点不重合），写出你的结论并说明理由．

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（1）用含m的代数式表示BE的长．

（2）当m=时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．

（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．

①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．

②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是．

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【题目】探究题
（1）【问题探究】
如图1，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，猜想∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；

（2）【问题迁移】
如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β．

①当点P在E、F两点之间运动时，如果α=30°，β=40°，则∠DPC=°．
②如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC与α、β之间的数量关系，并说明理由．