Question

【题目】探索发现：
如图1，已知直线l1∥l2 ， 且l3和l1、l2分别相交于A、B两点，l4和l1、l2分别交于C、D两点，∠ACP记作∠1，∠BDP记作∠2，∠CPD记作∠3．点P在线段AB上．

（1）若∠1=20°，∠2=30°，请你求出∠3的度数．
（2）请你根据上述问题，请你找出图1中∠1、∠2、∠3之间的数量关系，并直接写出你的结论．
（3）应用（2）中的结论解答下列问题：如图2，点A在B的北偏东 40°的方向上，在C的北偏西45°的方向上，请你根据上述结论直接写出∠BAC的度数．
拓展延伸：
（4）如果点P在直线l3上且在A、B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B两点不重合），写出你的结论并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵l1∥l2，

∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，

在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，

∴∠3=∠1+∠2=50°

（2）

解：∠1+∠2=∠3，

理由：∵l1∥l2，

∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，

在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，

∴∠1+∠2=∠3

（3）

解：如图2，过A点作AF∥BD，则AF∥BD∥CE，

∴∠BAC=∠DBA+∠ACE=40°+45°=85°

（4）

解：当P点在A的外侧时，如图3，过P作PF∥l1，交l4于F，

∴∠1=∠FPC，

∵l1∥l4，

∴PF∥l2，

∴∠2=∠FPD，

∵∠CPD=∠FPD﹣∠FPC，

∴∠CPD=∠2﹣∠1，

当P点在B的外侧时，如图4，过P作PG∥l2，交l4于G，

∴∠2=∠GPD，

∵l1∥l2，

∴PG∥l1，

∴∠1=∠CPG，

∵∠CPD=∠CPG﹣∠GPD，

∴∠CPD=∠1﹣∠2．

【解析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，再根据在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，即可得到∠3=∠1+∠2=50°；（2）根据l1∥l2 ， 可得∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，再根据在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，即可得到∠1+∠2=∠3；（3）过A点作AF∥BD，根据AF∥BD∥CE，即可得到∠BAC=∠DBA+∠ACE=40°+45°=85°；（4）分两种情况进行讨论：P点在A的外侧，P点在B的外侧，分别根据平行线的性质进行求解即可．
【考点精析】通过灵活运用平行线的性质和三角形的内角和外角，掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角即可以解答此题．