Question

如图，点A、B、C为⊙O上顺次三点，AC为⊙O直径，CD∥AB，CD=AC，连接BD交AC于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：∠ACF=∠D；       
（2）若AB=

7

，BC=3，求AC、BD的值．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）先根据平行线的性质得∠ABD=∠BDC，再根据圆周角定理得∠ACF=∠ABD，于是有∠ACF=∠BDC；
（2）根据圆周角定理，由AC为⊙O直径得到∠ABC=90°，则根据勾股定理可计算出AC=4，于是得到CD=4，再根据平行线的性质得∠BCD=90°，然后再利用勾股定理计算BD．

解答：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠ACF=∠ABD，
∴∠ACF=∠BDC；

（2）解：∵AC为⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，∵AB=

7

，BC=3，
∴AC=

AB2+BC2

=4，
∵CD=AC，
∴CD=4，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=90°，
在Rt△BCD中，∵BC=3，CD=4，
∴BD=

BC2+CD2

=5．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．