Question

6．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，求证：△ABE∽△DEF．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出∠A=∠D=90°，AB=AD=CD，设AB=AD=CD=4a，得出AE=DE=2a，DF=a，证出$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=AD=CD，
设AB=AD=CD=4a，
∵E为边AD的中点，CF=3FD，
∴AE=DE=2a，DF=a，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{4a}{2a}$=2，$\frac{AE}{DF}=\frac{2a}{a}$=2，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$，
又∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEF．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，熟记两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．