Question

定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3．
（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式y

 

，自变量的取值范围是

 

；
（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；
（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据半圆的对称性求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答，再根据点A、B的坐标写出x的取值范围；
（2）设过点C的切线与x轴相交于E，连接CM，根据同角的余角相等求出∠CEO=∠MCO，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出△COE和△MOC相似，利用相似三角形对应边成比例求出OE，然后写出点E的坐标即可；
（3）设过点D的“蛋圆”切线解析式为y=kx+8，与抛物线解析式联立，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，再根据相切只有一个交点△=0列式求解即可．

解答：解：（1）∵半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3，
∴A（-2，0），B（4，0），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则

4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 c=8

，
解得

a=-1 b=2 c=8

，
∴“蛋圆”抛物线部分的解析式y=-x²+2x+8（-2≤x≤4）；
故答案为：=-x²+2x+8；-2≤x≤4．

（2）如图，设过点C的切线与x轴相交于E，连接CM，
∵CE与半圆相切，
∴CE⊥CM，
∴∠OCE+∠MCO=90°，
∵∠CEO+∠ECO=90°，
∴∠CEO=∠MCO，
又∵∠COE=∠MOC=90°，
∴△COE∽△MOC，
∴

OE

OC

=

OC

OM

，
由勾股定理得，OC=

32-12

=2

2

，
∴OE=

OC2

OM

=

(2 2 )2

1

=8，
∴过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标为（-8，0）；

（3）设过点D的“蛋圆”切线解析式为y=kx+8，
联立

y=-x2+2x+8 y=kx+8

，
消掉y得，x²+（k-2）x=0，
∵直线与“蛋圆”抛物线相切，
∴△=（k-2）²=0，
解得k=2，
∴过点D的“蛋圆”切线的解析式为y=2x+8．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，切线的定义，读懂题目信息，理解“蛋圆”的定义是解题的关键．