Question

11．已知正方形ABCD，直线AG分别交BD、CD于点E、F，交BC的延长线于点G，点H是线段FG上的点，且HC⊥CE，求证：点H是GF的中点．

Answer 1

分析 先根据SAS证明△ADE≌△CDE，得出∠4=∠5，再根据角的互余关系得出∠1=∠2，证出HC=HF；然后根据互余关系得出角相等证出HF=HG，即可得出结论．

解答 证明：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°，
∴∠3+∠4=90°，
在△ADE和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}&{\;}\\{∠ADE=∠CDE}&{\;}\\{DE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠4=∠5，
∵HC⊥CE，
∴∠2+∠5=90°，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴HC=HF，
∵∠GCF=90°，
∴∠2+∠6=90°，
∠1+∠G=90°，
∴∠6=∠G，
∴HG=HC，
∴HF=HG，
即H是GF的中点．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等和证明等腰三角形是解题的关键．