Question

如图，矩形ABCD的顶点A、D在抛物线y=-

2

3

x2+

8

3

x上，B、C在x轴的正半轴上，且矩形始终在抛物线与x轴围成的区域里．
（1）设点A的横坐标为x，试求矩形的周长P关于变量x的函数表达式；
（2）当点A运动到什么位置时，相应矩形的周长最大？最大周长是多少？
（3）在上述这些矩形中是否存在这样一个矩形，它的周长为7？若存在，求出该矩形的各顶点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据矩形和抛物线的对称性可知：BC=AD=OE-2x，因此求矩形的周长，就必须先求出E点的坐标，根据已知抛物线的解析式，易求得E点的坐标，进而可得到BC的表达式，利用矩形的周长公式即可得到关于P、x的函数关系式．
（2）将（1）题所得函数关系式化为顶点坐标式，进而可求得P的最大值及对应的x的值．
（3）将P=7代入（1）题的函数关系式中，即可求得对应的x的值，进而可根据A点坐标和矩形各边长的表达式求出各顶点的坐标．

解答：解：（1）令y=0，得-

2

3

x2+

8

3

x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
∴E（4，0）；（2分）
∴P=2[-

2

3

x2+

8

3

x+(4-2x)]=-

4

3

x2+

4

3

x+8，（2分）
即P=-

4

3

x2+

4

3

x+8．

（2）∵P=-

4

3

x2+

4

3

x+8=-

4

3

(x-

1

2

)2+

25

3

（2分）
∴当x=

1

2

时，P的最大值为

25

3

；（2分）
故当点A运动到（

1

2

，

7

6

）时，矩形的周长最大，且最大值为

25

3

．

（3）存在；（1分）
当P=7时，得-

4

3

x2+

4

3

x+8=7
即4x²-4x-3=0，
解得x1=-

1

2

，x2=

3

2

；（1分）
∵0＜x＜2，
∴x=

3

2

；
当x=

3

2

时，y=

5

2

，
∴B(

3

2

，0)，C(

5

2

，0)，D(

5

2

，

5

2

)．（2分）

点评：此题主要考查了矩形、抛物线的性质，二次函数解析式的确定，二次函数最值的应用等知识，难度适中．