Question

12．应用锐角三角比的定义．求15°的三角比的值．

Answer 1

分析 构建直角三角形ABC，令有一个锐角为15°，作辅助线，构建30°的直角三角形，设AC=x，则AD=BD=2x，CD=$\sqrt{3}$x，分别表示直角△ABC三边的长，利用三角函数定义分别求出锐角15°的三角函数值．

解答 解：如图，作直角△ACB，令∠ACB=90°，∠B=15°，
作AB的中垂线DE，交AB于E，交BC于D，连接AD，
∴AD=BD，
∵∠B=15°，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°，
设AC=x，则AD=BD=2x，CD=$\sqrt{3}$x，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（2x+\sqrt{3}x）^{2}}$=（$\sqrt{6}+\sqrt{2}$）x，
∴sin∠B=sin15°=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{x}{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）x}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
cos∠B=cos15°=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{（2+\sqrt{3}）x}{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）x}$=$\frac{（2+\sqrt{3}）（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{4}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
tan∠B=tan15°=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{x}{（2+\sqrt{3}）x}$=2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键，此题是利用辅助线将15°的角转化为30°的角，从而求得结论．