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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：

    （1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；
    （2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
    （3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
    分析：（1）根据等腰三角形性质求出即可；
    （2）①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似与勾股定理，即可求出答案；
    （3）分为三种情况，①∠PQE=90°，②∠PEQ=90°，③∠EPQ=90°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解，看看是否满足小于10即可．
    解答：解：（1）当D在AC上时，
    ∵DE=DF，
    ∴EC=CF=
    1
    2
    EF=5，
    ∴t=5．

    （2）存在．
    ∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
    ∴∠CQE=45°=∠DEF，
    ∴CQ=CE=t，
    AQ=8-t，当0≤t＜5时，
    ①AP=AQ，
    t=8-t，
    ∴t=4；
    ②AP=PQ，
    作PH⊥AC于H，
    AH=HQ=
    1
    2
    AQ=4-
    1
    2
    t，
    ∵PH∥BC，
    ∴△APH∽△ABC，
    ∴
    AP
    AH
    =
    AB
    AC
    ，
    ∴
    t
    4-
    1
    2
    t
    =
    10
    8
    ，
    ∴t=
    40
    13
    ；
    ③AQ=PQ，
    作QI⊥AB于I，
    AI=PI=
    1
    2
    AP=
    1
    2
    t（等腰三角形的性质三线合一），
    ∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
    ∴△AIQ∽△ACB，
    ∴
    AI
    AQ
    =
    AC
    AB
    ，
    ∴
    1
    2
    t
    8-t
    =
    8
    10
    ，
    ∴t=
    64
    13
    ，
    ④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，
    同理可求出，
    FC=QC=10-t，BP=10-t，
    PH=
    4
    5
    （10-t）=8-
    4
    5
    t，
    BH=
    3
    5
    （10-t）=6-
    3
    5
    t，
    QG=QC-GC=QC-PH=10-t-（8-
    4
    5
    t）=2-
    t
    5
    ，
    PG=HC=6-（6-
    3
    5
    t）=
    3
    5
    t，
    PQ=AQ=8-（10-t）=t-2，
    ∴PQ 2=PG 2+QG 2，
    （t-2）2=（
    3
    5
    t） 2+（2-
    t
    5
    ） 2，
    解得：t=
    16
    3
    秒，
    其它情况不符合要求，
    综合上述：当t等于4秒、
    40
    13
    秒、
    64
    13
    秒、
    16
    3
    秒时△APQ是等腰三角形．

    （3）由勾股定理：CE=CQ=t，
    ∵sinA=
    BC
    AB
    =
    6
    10
    =
    PW
    AP
    ，cosA=
    AC
    AB
    =
    8
    10
    =
    AW
    AP
    ，
    ∴PW=
    3
    5
    t，AW=
    4
    5
    t，
    ∴QW=8-
    4
    5
    t-t=8-
    9
    5
    t，
    ∴PQ2=PM2+QW2=（
    3
    5
    t）2+（8-
    9
    5
    t）2=
    18
    5
    t2-
    144
    5
    t+64，
    PE2=PH2+EH2=（t+8-
    9
    5
    t）2+（t-
    3
    5
    t）2=
    4
    5
    t2-
    64
    5
    t+64，
    ①∠PQE=90°，
    在Rt△PEQ中
    PQ2+QE2=PE2，
    ∴t1=0（舍去） t2=
    10
    3
    ；
    ②∠PEQ=90°，
    PE2+EQ2=PQ2
    t1=0（舍去） t2=20（舍去）
    ∴此时不存在；
    ③当∠EPQ=90°时
    PQ2+PE2=EQ2，
    t1=
    40
    3
    （舍去） t2=4，
    综合上述：当t=
    10
    3
    或t=4时，△PQE是直角三角形．
    点评：本题综合运用了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，此题难度较大，综合性强，用的数学思想是分类讨论思想．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图甲摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm．如图乙，△DEF从图甲的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动．当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：
    （1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
    （2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？
    （3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•晋江市质检）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
    （1）填空：CQ=
    t
    t
    ，AQ=
    8-t
    8-t
    （用含t的式子表示）；
    （2）当t为何值时，点P在以AQ为直径的⊙M上？
    （3）当P、Q、F三点在同一条直线上时，如图（3），求t的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放（点C与E重合），点B，C，E，F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=45°，AC=8，BC=6，EF=10．如图2，△DEF从图1位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，AC与△DEF的直角边相交于点Q，当E到达终点B时，△DEF与点P同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：
    （1）当D在AC上时，求t的值；
    （2）在P点运动过程中，是否存在点P，使△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
    （3）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•安溪县质检）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按图（a）摆放，点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8厘米，BC=6厘米，EF=9厘米．如图（b），△DEF从图（a）的位置出发，以1厘米/秒的速度沿CB向△ABC匀速移动，点P同时从点B出发，以2厘米/秒的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时移动即停止．记DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（秒）（0＜t＜4.5）．求：
    （1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
    （2）当t为何值时，△APQ与△ABC相似；
    （3）当t为何值时，点P、Q、F在同一直线上．

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