Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图甲摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm．如图乙，△DEF从图甲的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动．当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）设三角形BQE的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△DEF中由勾股定理可以得到DF=10．同理，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，所以△ABC为等腰直角三角形；由DE⊥BC，∠ACB=45°，知△QEC也是等腰直角三角形，所以，QE=CE=t，则BE=BC-CE=9-t；则△BQE的面积y=

1

2

BE•QE（0＜t≤

10

3

）；
（2）在Rt△DEF中，DE=6，DF=10，所以，cos∠D=

3

5

，sin∠D=

4

5

；在Rt△PDG中，通过sin∠D求得PG、cos∠D解得DG，
那么GQ=DQ-DG；在Rt△PGQ中，利用勾股定理，求得PQ²．若△DPQ为等腰三角形时，分三种情况：①若DP=DQ；②若DP=PQ；③当DQ=PQ时；
（3）①当t=0时，点B、P、Q在同一条直线上；
②当B、Q、P在同一直线上时，过点P作DE的垂线，垂足为G，则PG∥BE，△DPG∽△DFE；然后由相似三角形的对应边成比例求得 PG、DG的值，而DQ=6-t，所以求得GQ=DQ-DG的值，根据平行线的判定定理知GP∥BE，可证△GPQ∽△QBE，所以，
GP：BE=GQ：EQ，从而解得t=

1

2

，点B、Q、P在同一直线上．

解答：解：（1）∠ACB=45°，∠DEF=90°，
∴∠EQC=45°．
∴EC=EQ=t，
∴BE=9-t．
∴y=

1

2

BE•EQ=

1

2

(9-t)t，（2分）
即：y=-

1

2

t2+

9

2

t（0＜t≤

10

3

）（1分）

（2）①当DQ=DP时，∴6-t=10-3t，解得：t=2s．（2分）
②当PQ=PD时，过P作PH⊥DQ，交DE于点H，
则DH=HQ=

6-t

2

，由HP∥EF，
∴

DH

DE

=

DP

DF

则

6-t 2

6

=

10-3t

10

，解得t=

30

13

s（2分）
③当QP=QD时，过Q作QG⊥DP，交DP于点G，
则GD=GP=

10-3t

2

，可得：△DQG∽△DFE，
∴

DG

DE

=

DQ

DF

，则

10-3t 2

6

=

6-t

10

，
解得t=

14

9

s（2分）

（3）假设存在某一时刻t，
使点P、Q、B三点在同一条直线上．
则，过P作PI⊥BF，交BF于点I，
∴PI∥DE，
于是：

PI

DE

=

FP

FD

，
∴PI=

9

5

t，FI=

12

5

t，
∴

QE

PI

=

BE

BI

，则

t

9 5 t

=

9-t

9-t+8- 12 5 t

，
解得：t=

1

2

s．
答：当t=

1

2

s，点P、Q、B三点在同一条直线上．（3分）

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例．解答（2）题时，需注意分类讨论，全面考虑等腰三角形的腰与底的各种情况．