Question

9．在△ABC中，∠B=30°，AD是BC上的高，且AD²=BD•DC，则∠BCA的度数是60或120度．

Answer 1

分析 分两种情况考虑：当∠BCA为锐角和钝角，将已知的积的恒等式化为比例式，再根据夹角为直角相等，利用两边对应成比例且夹角的相等的两三角形相似可得出△ADB∽△CDA，由相似三角形的对应角相等，利用直角三角形的两锐角互余及外角性质分别求出两种情况下∠BCA的度数即可．

解答 解：当∠BCA为锐角时，如图1所示，
∵AD²=BD•DC，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{BD}{AD}$，
又AD⊥BC，
∴∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ADB∽△CDA，又∠B=35°，
∴∠CAD=∠B=35°，∠BCA=∠BAD，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°，
∴∠BAD=60°，
则∠BCA=∠BAD=60°；
当∠BCA为钝角时，如图2所示，
同理可得△ADB∽△CDA，又∠B=30°，
可得∠CAD=∠B=30°，
则∠BCA=∠CDA+∠CAD=120°，
综上，∠BCA的度数为60°或120°．
故答案为：60或120．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及外角的性质，利用了分类讨论的思想，其中相似三角形的判定方法有：两对对应角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似．