Question

14．如图，已知：圆内接正方形ABCD，∠DAC的平分线交圆于E，交CD于P，
（1）求证：DE²=AE•EP；
（2）若EP=1，AP=3，求圆的半径r？

Answer 1

分析 （1）根据∠DAC的平分线交圆于E，得到∠DAE=∠CAE，根据圆周角定理得到∠AED=∠DEP，推出△ADE∽△DPE，于是得到$\frac{PE}{DE}=\frac{DE}{AE}$，即可得到结论；
（2）由EP=1，AP=3，得到AE=4，于是得到DE=2根据圆周角定理得到CE=DE=2，由于AC是直径，于是得到∠AEC=90，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{E^2}+C{E^2}}=2\sqrt{5}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠DAC的平分线交圆于E，
∴∠DAE=∠CAE，
∵∠CDE=∠CAE，
∴∠DAE=∠CDE，
∵∠AED=∠DEP，
∴△ADE∽△DPE，
∴$\frac{PE}{DE}=\frac{DE}{AE}$，
∴DE²=AE•EP；

（2）解：∵EP=1，AP=3，
∴AE=4，
∴DE²=AE•EP=4，
∴DE=2
∵∠DAE=∠CAE，
∴弧DE=弧CE，
∴CE=DE=2，
∵圆内接正方形ABCD，
∴∠ADC=90，
∴AC是直径，
∴∠AEC=90，
∴AC=$\sqrt{A{E^2}+C{E^2}}=2\sqrt{5}$，
∴r=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是正多边形的圆及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．