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【题目】我们把两条中线互相垂直的三角形称为中垂三角形.例如图1,图2,图3中,AFBEABC的中线,AFBE,垂足为P.像ABC这样的三角形均为中垂三角形.设BCaACbABc

特例探索

1)①如图1,当∠ABE45°c2时,a   b   

②如图2,当∠ABE30°c4时,求ab的值.

归纳证明

2)请你观察(1)中的计算结果,猜想三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.

3)利用(2)中的结论,解答下列问题:

在边长为3的菱形ABCD中,O为对角线ACBD的交点,EF分别为线段AODO的中点,连接BECF并延长交于点MBMCM分别交AD于点GH,如图4所示,求MG2+MH2的值.

【答案】(1)①2,2;② a2b2;(2)关系为:a2+b25c2,证明见解析;(35.

【解析】

1)在图1中,PBABsin45°2PA,即可求解;同理可得:a2b2

2PBABcosαccosαPAcsinαPFPAcsinαPEcsinα,则a2+b2=(2AE2+2BF2,即可求解;

3)证明:MGMEMBMHMC,则MG2+MH2MB2+MC2),即可求解.

解:如图1234,连接EF,则EFABC的中位线,

EFABEFAB,∴△EFP∽△BPA

①,

1)在图1中,PBABsin45°2PA

由①得:PF1

b2BF22a

②同理可得:a2b2

2)关系为:a2+b25c2

证明:如图3,设:∠EABα

则:PBABcosαccosαPAcsinα

由①得:PFPAcsinαPEcsinα

a2+b2=(2AE2+2BF2c2×5[sinα2+cosα2]5c2

3)∵AEOEECAGBC

AGBCAD,则EFBCAD

同理HGAD,∴GHAD

GHEF

GHBCEFBC

HGEF,∴MGMEMB

同理:MHMC

MG2+MH2MB2+MC2)=×5×BC25

练习册系列答案
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