Question

4．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E为CD边上的一点，连接AE，并以AE为对称轴，作与△ADE成轴对称的图形△AFE，延长EF（或FE）交直线BC于G．
（1）求证：DE+BG=EG；∠EAG=45°；
（2）设AB=1，GF=m，FE=n，求m+n+mn的值；
（3）若将条件中的“E为CD边上的一点”改为“E为射线CD上的一点”，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质，△ADE≌△AGE，得到AD=AF=AB，DE=FE，∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=∠AFG=90°=∠B，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；
（2）AB=1，GF=m，FE=n，则EG、CG、CE可以用m、n表示，由于∠C=90°，根据勾股定理列方程即可解答；
（3）不成立，此时，EF=BF-DE，∠EAF=45°成立，证明方法与（1）类似．

解答 解：如图1，∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴△ADE≌△AGE
∴AD=AF=AB，DE=FE，∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=∠AFG=90°=∠B，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
∴GE=GF+EF=BG+DE；
（2）如图1，设AB=1，GF=m，FE=n，则EG=m+n，CG=1-m，CE=1-n，
∵∠C=90°，
∴（1-m）²+（1-n）²=（m+n）²，
整理得：m+n+mn=1；
（3）EF=BF+DE不成立，
理由：如图2，此时，EF=BF-DE，∠EAF=45°成立．
同（1）有△ADE≌△AGE，Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴DE=FE，GB=GF，∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，
∴GE=GF-EF=BG-DE，
∠GAE=∠FAG-∠FAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°．

点评 本题主要考查了翻折变换、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识的综合运用，发现图形中△ADE≌△AGE以及Rt△ABG≌Rt△AFG，是解决问题的关键．