Question

14．已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为P．
（1）如图1，连接AP，分别求出抛物线与直线AP的解析式；
（2）如图1，点D（2，3）在抛物线上，在第一象限内，直线AP上是否存在点E，使DE⊥EO？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC与抛物线的对称轴交于点F，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使△GPF与△GBF的面积相等？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）、B（3，0）两点代入y=-x²+bx+c即可求出抛物线的解析式，求出点P的坐标，将点A、P两点坐标代入y=kx+b即可求出直线解析式；
（2）如图1，假设AP上有一点E，使得DE⊥EO，作EM⊥OB，DN⊥EM，则△EMO∽△DNE，得$\frac{OM}{EN}=\frac{EM}{DN}$，设E（x，y），D（2，3），列出方程即可解决问题．
（3）设设G（m，-m²+2m+3），根据S_△GPF=S_△GFB=S_△EFG+S_△EBG-S_△EFB，列出方程即可解决问题，当G′在x轴下方时，方法类似．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴P（1，4），
设直线AP的解析式为y=kx+b，点A、P两点坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$．
则直线AP的解析式为y=2x+2；  
（2）如图1，假设AP上有一点E，使得DE⊥EO，作EM⊥OB，DN⊥EM，
则△EMO∽△DNE，
∴$\frac{OM}{EN}=\frac{EM}{DN}$，
设E（x，y），D（2，3），
则OM=x，EM=y，EN=y-3，DN=2-x，
∴$\frac{x}{y-3}=\frac{y}{2-x}$
又∵y=2x+2，
解得：x=$±\frac{\sqrt{10}}{5}$（负值舍去），
∴y=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$+2，
∴E（$\frac{\sqrt{10}}{5}$，2）；
（3）设G（m，-m²+2m+3），
∵S_△GPF=S_△GFB=S_△EFG+S_△EBG-S_△EFB，
∴$\frac{1}{2}$×2×（m-1）=$\frac{1}{2}$×2×（m-1）+$\frac{1}{2}$×2×（-m²+2m+3）-$\frac{1}{2}$×2×2，
解得m=1+$\sqrt{2}$或1-$\sqrt{2}$（舍弃），
∴点G坐标（1+$\sqrt{2}$，2），
当G′在x轴下方时，$\frac{1}{2}$×2×（m-1）=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×（m²-2m-3）-$\frac{1}{2}$×2×（m-1），
解得m=2+$\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$舍弃，
∴点G坐标（2+$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），
∴使△GPF与△GBF的面积相等点G的坐标为（1+$\sqrt{2}$，2），（2+$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$）．

点评 此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、三角形相似、直线与抛物线的交点，关键是把问题转化为方程解决，注意有两种情形．