Question

2．已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点C处，使三角板绕点C旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想DE与BF的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若BE：CE：DE=1：2：3，求∠BEC的度数；
（3）若BC=2，点M是边AB的中点，连结CM，CM与BD交于点O，当三角板的一边CF与边CM重合时（如图2），若OF=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，求DN的长．

Answer 1

分析 （1）证DE与BF所在的三角形全等即可；
（2）设BE=k，由BE：CE：DE=1：2：3，可得到BE、EF，根据勾股定理逆定理可知∠BEF=90°，进而求出∠BEC的度数；
（3）根据△CFN∽△CDO，进而得到△BOM∽△DOC，利用相似三角形的性质解答．

解答 解：（1）如图1，当三角板旋转到图1的位置时，DE=BF，
∵∠ECB+∠BCF=90°，∠DCE+∠ECB=90°，
∴∠DCE=∠BCF．
∵∠BCD=90°，AB∥CD
∴∠ABC=90°，∠BAC=∠ACD，
∵BC=2，AB=1，
∴tan∠BAC=2，
∵tan∠ADC=2，
∴∠BAC=∠ADC，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AD=AC，
作AM⊥CD于点M，
∴CD=2MC=2AB=2，
∴CD=BC．
∵EC=CF，
∴△DCE≌△BCF．
∴DE=BF．
（2）设BE=k，
∵BE：CE：DE=1：2：3，
∴BF=3k，EF=2$\sqrt{2}$k，
∵k²+（2$\sqrt{2}$k）²=（3k）²，
∴∠BEF=90°，
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=90°+45°=135°；
（3）∵∠CEF=∠CDO=45°，∠FCN=∠DCO，
∴△CFN∽△CDO，
∴$\frac{CF}{CD}=\frac{CN}{CO}$，
∵点M是边AB的中点，
∴MB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵AB∥CD，
∴∠MBF=∠ODC，∠BMF=∠OCD，
∴△BOM∽△DOC，
∴$\frac{OM}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{MB}{DC}=\frac{1}{2}$，
在Rt△CBM中，
CM=$\sqrt{B{C}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CO=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∵OF=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，
∴CF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{CN}{\frac{2\sqrt{5}}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴CN=$\frac{5}{6}$，
∴DN=2-$\frac{5}{6}$=$\frac{7}{6}$．

点评 本题是一道几何变换综合题，主要考查了图形旋转的性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及逆定理、相似三角形的判定与性质等知识的综合运用，综合性很强，难度适中，第3小题是本题难点，发现相似三角形转移线段比进行计算是解决问题的关键．