Question

如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA=

1

2

BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据线段中点的定义可得OE=OF，根据垂直的定义可得∠OEB=∠OFD=90°，然后利用“角边角”证明△BOE和△DOF全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得OB=OD，然后求出OA=OB=OC=OD，再根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形解答．

解答：（1）证明：∵点O是EF的中点，
∴OE=OF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
在△BOE和△DOF中，

∠OEB=∠OFD=90° OE=OF ∠BOE=∠DOF

，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；

（2）解：四边形ABCD是矩形．
理由如下：∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
∵点O是AC的中点，
∴OA=OC，
∵OA=

1

2

BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD是矩形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．