Question

【题目】在中，,

（1）如图，是上的点，过点作直线截，使截得的三角形与相似．例如：过点作交于，则截得的与相似．请你在图中画出所有满足条件的直线．

（2）如图，是上异于点，的动点，过点作直线截，使截得的三角形与相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线）

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

(1)利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理过点P作两条，再利用两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理，过点P作两条.

(2)把Q点看成从C点出发到B点的动点，发现当Q点在某一个位置时，所作截的三角形与原三角形相似的数量减少了一个，通过此时的临界条件把QC的长度计算出来，进行分类说明.

（1）如图所示：

第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，过点P分别做AB与BC的平行线PD与PE.分别得到△ADP∽△ABC. △PCE∽△ACB.

第二种：利用两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理，过P分别做PG垂直AB于点G，做PF交BC于点F，使∠PFC=∠A.分别得到△AGP∽△ACB, △FPC∽△ACB.

（2）

如图所示，假设点Q从点C开始往点B移动，由（1）可知，作QD⊥AB，

得△BQD∽△BAC.作QF交AC于点F，使∠QFC=∠B，得△QCF∽△ACB.

作QE∥AC，得△BQE∽△BCA.作QG∥AB，得△QCG∽△BCA.

当移动到位置时，此时出现点F于点A重合，此时是一个临界点，利用△QCF∽△ACB得到，则又此时CA=CF，所以QC=

该点往左移动，不能在三角形ABC内做出作QF交AC于点F，该点往右移动，可以在三角形ABC内做出作QF交AC于点F，使△QCF∽△ACB.

故当0＜QC≤时，满足条件的直线有4条；

当＜QC＜6时，满足条件的直线有3条．