Question

3．武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）．
（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）
（2）改善后的台阶占多长一段地面？（精确到0.01米）sin44°=0.6947；sin32°=0.5299；cos44°=0.7193；cos32°=0.8480；tan32°=0.6249．

Answer 1

分析 （1）要求台阶加长的部分，需求台阶改善后的新长度，改后的台阶组成的直角三角形中，有坡角的度数，只要知道台阶的垂直距离便可，因为台阶修改前后高没变，因此可根据原台阶构成的直角三角形来求出台阶的垂直高度．这样，就能求出改后的台阶的长，也就能求出增加了多少．
（2）修改前后的台阶构成的两个直角三角形中，已知了坡角，又求得了台阶的垂直高度，那么他们的水平距离就都能求出了，多占的地面的长度其实就是这两个水平距离的差．

解答 解：（1）如图，在Rt△ABC中，AC=AB•sin44°=5sin44°≈3.473（米）．
在Rt△ACD中，AD=$\frac{AC}{sin32°}$≈6.554（米），∴AD-AB=6.554-5≈1.55（米）．
答：改善后的台阶会加长1.55米．

（2）如图，在Rt△ABC中，BC=AB•cos44°=5cos44°≈3.597（米）．
在Rt△ACD中，CD=$\frac{AC}{tan32°}$≈5.558（米）．
∴BD=CD-BC=5.558-3.597≈1.96（米）．
答：改善后的台阶多占1.96米长的一段地面．

点评 本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．