Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的一个交点为A（1，0），
另一个交点为B，与y轴的交点为C（0，-2）．
（1）b=

 

，点B的坐标为（

 

，

 

）；（均用含a的代数式表示）
（2）若a＜2，试证明二次函数图象的顶点一定在第三象限；
（3）若a=1，点P是抛物线在x轴下方的一个动点（不与C重合），连结PB，PC，设所得△PBC的面积为S，试求S的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题,不等式的性质

专题：作图题,证明题

分析：（1）将已知点C，A代入抛物线解析式进而求出B点坐标以及b的值；
（2）根据题意证明顶点的横纵坐标均为负数，即可证明顶点一定在第三象限；
（3）首先分割四边形为S=S_△POB+S_△POC-S_△BOC，根据三角形面积计算公式即可得出．

解答：（1）解：∵二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的一个交点为A（1，0），
∴a+b+c=0，
∵图象与y轴的交点为：C（0，-2），
∴c=-2，
∴b=2-a，
则抛物线解析式为：y=ax²+（2-a）x-2，
y=0时，0=ax²+（2-a）x-2，
解得：x₁=1，x₂=-

2

a

，
∴B点坐标为：（-

2

a

，0），
故答案为：2-a，（-

2

a

，0）；

（2）证明：∵二次函数图象过（1，0）点，且与y轴的交点坐标是（0，-2），
∴可（1）得：c=-2，b=2-a，
∴y=ax²+（2-a）x-2=a（x+

2-a

2a

）²-

(a+2)2

4a

，
∴抛物线顶点坐标为：（-

2-a

2a

，-

(a+2)2

4a

）
∵0＜a＜2，
∴2a＞0，4a＞0，2-a＞0，（a+2）²＞0，
∴-

2-a

2a

＜0，-

(a+2)2

4a

＜0．
∴该二次函数图象的顶点一定在第三象限．

（3）解：当a=1时，y=x²+x-2，此时点B的坐标为（-2，0）．
当0＜x＜1时，0＜S＜S_△ABC，
∵S_△ABC=

1

2

×AB×OC=

1

2

×3×2=3，
∴此时，0＜S＜3．
当-2＜x＜0时，可设点P的坐标为：（x，x²+x-2）
连结PO，则S=S_△POB+S_△POC-S_△BOC
∴S=

1

2

×2×（-x²-x+2）+

1

2

×2×（-x）-

1

2

×2×2
=-x²-2x
=-（x+1）²+1，
∵当x=-1时，S取最大值1，且满足-2＜-1＜0，
∴此时，0＜S≤1．
综上所述，S的取值范围为0＜S＜3．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及一元二次方程解法和三角形面积求法等知识，正确分割四边形以及利用配方法求出二次函数顶点坐标是解题关键．