Question

已知抛物线与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C（0，-3），点E为直线AC上的一动点，DE∥y轴交抛物线于点D．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的表达式；
（2）当点E的坐标为（-2，-1），连接AD，点P在x轴上，使△APC与△ADC相似，请求出点P的坐标；
（3）当点E在直线AC上运动时，是否存在以D、E、O、C为顶点，OC为一边的平行四边形？若存在请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由于抛物线与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C（0，-3），根据待定系数法即可得到抛物线y=ax²+bx+c的表达式；
（2）由图可知△ADC与△CPA相似，P点只能在A点右侧，分两种情况：若△ADC∽△CPA；若△ADC∽△PCA；进行讨论即可得到点P的坐标；
（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，再分两种情况：DE在y轴的右边和DE在y轴的左边；进行讨论即可得到点E的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C（0，-3），
∴

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=2 c=-3

．
∴抛物线y=ax²+bx+c的表达式为y=x²+2x-3；
（2）∵E（-2，-1）且DE∥y轴，
∴点D与点E的横坐标相同为-2，
将x=-2代入抛物线解析式中得：y=-3
∴D（-2，-3）
又∵C（0，-3）
∴DC∥x轴且DC=2
∴∠BAC=∠ACD，
又∵A（-3，0），C（0，-3），
∴OA=OC=3，
∴AC=

32+32

=3

2

由图可知△ADC与△CPA相似，P点只能在A点右侧，
若△ADC∽△CPA，则

CD

AP

=

CA

AC

即

2

AP

=1，
解得：AP=2，
∴P（-1，0）
若△ADC∽△PCA，则

CD

CA

=

AC

AP

即

2

3 2

=

3 2

AP

，
解得：AP=9，
∴P（6，0）．
∴点P的坐标为（-1，0）或（6，0）；
（3）答：存在满足条件的E点．
设直线AC的解析式为y=kx+b，则

-3k+b=0 b=-3

解得

k=-1 b=-3

．
故直线AC的解析式为y=-x-3．
设点E的坐标为（m，-m-3），则点D的坐标为（m，m²+2m-3），
当DE在y轴的右边时，m²+2m-3-（-m-3）=3，解得m₁=

-3+ 21

2

，m₂=

-3- 21

2

（不合题意舍去），
则-m-3=

-3- 21

2

，
则E₁（

-3+ 21

2

，

-3- 21

2

）；
当DE在y轴的左边时，m²+2m-3-（-m-3）=3，解得m₁=

-3+ 21

2

（不合题意舍去），m₂=

-3- 21

2

，
则-m-3=

-3+ 21

2

，
则E₂（

-3- 21

2

，

-3+ 21

2

）；
综上所述，点E的坐标E1(

-3+ 21

2

，

-3- 21

2

)，E2(

-3- 21

2

，

-3+ 21

2

)．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的表达式，待定系数法求直线的表达式，相似三角形的性质，勾股定理，两点间的距离公式，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．