Question

【题目】定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”．

（1）理解：

如图1，已知四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC=8，BD=7，求四边形ABCD的面积.

（2）探究：

小明对 “垂直四边形”ABCD（如图1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和．即．你认为他的发现正确吗？试说明理由．

（3）应用：

① 如图2，在△ABC中， ，AC=6，BC=8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（），连结CP，BQ，PQ．当四边形BCQP是“垂直四边形”时，求t的值．

② 如图3，在△ABC中，，AB=3AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG．请直接写出线段EG与BC之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）28；（2）证明见解析；（3）①；②

【解析】试题分析：（1）由于对角线互相垂直，所以四边形ABCD的面积可化为AOBD+COBD的和；

（2）由于对角线互相垂直，由勾股定理分别表示出AB2、CD2、AD2、BC2；

（3）①过点P作PD⊥AC于点D，构造△PAD∽△BAC后，利用BP2+CQ2=PQ2+BC2列出关于t的方程；②连接BE、CG、BG、CE，证明四边形BCGE是垂直四边形，然后利用其性质“一组对边的平方和等于另一组对边的平方和”，即可得出EG与BC的数量关系．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是“垂直四边形”，

∴AC⊥BD，

∴四边形ABCD的面积为AOBD+COBD=BD(AO+CO) =ACBD=2×8×7=28，

故答案为：28；

（2）∵四边形ABCD是“垂直四边形”，

∴AC⊥BD.

由勾股定理可知：

AB2+CD2=(AO2+BO2)+(DO2+CO2)，

AD2+BC2=(AO2+DO2)+(BO2+CO2)，

∴AB2+CD2=AD2+BC2；

（3）① 过点P作PD⊥AC于点D,

∵∠ACB=90°，

∴AB==10，PD∥BC.

∴ △PAD∽△BAC，

∴.

∵ 动点P的速度为每秒5个单位，动点Q的速度为每秒6个单位.

∴ AP=5t，CQ=6t

∴，∴AD=3t，PD=4t.

∵ 四边形BCQP是“垂直四边形”.

∴BP2+CQ2=PQ2+BC2.

∴(10-5t)2+(6t)2=(4t)2+(6-9t)2+82，

解得t=或t=0（舍去）.

∴ 当四边形BCQP是“垂直四边形”时，t的值为.

②如图3，

连接CG、BG、BE、CE，

CE与BG交于点O

由题意知：EA=BA，AC=AG

∠EAB=∠CAG=90°

∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠BAC

∴∠EAC=∠BAG

在△EAC与△BAG中，

∴△EAC≌△BAG(SAS)

∴∠CEA=∠GBA

∴∠EAB=∠BOE=90°

∴四边形BCGE是“垂直四边形”

∴BC2+EG2=BE2+CG2，

∵AB=3AC，

∴EG2=BC2.