Question

【题目】如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1.

(1)当a=－1,b=1时，求抛物线n的解析式；

(2)四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；

(3)若四边形AC1A1C为矩形，请求出a,b应满足的关系式.

Answer 1

【答案】(1) (2) 平行四边形，理由见解析 (3)

【解析】解：（1）当时，抛物线的解析式为：.

令，得：. ∴C（0,1）.

令，得：. ∴A（-1,0），B（1,0）

∵C与C1关于点B中心对称，

∴抛物线的解析式为： ………4分

（2）四边形AC1A1C是平行四边形. ………5分

理由：∵C与C1、A与A1都关于点B中心对称，

∴,

∴四边形AC1A1C是平行四边形. ………8分

（3）令，得：. ∴C（0,）.

令，得：, ∴,

∴, ………9分

∴.

要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足,

∴， ∴，

∴.

∴应满足关系式. ………10分

（1）通过a=－1,b=1，求得抛物线的解析式，从而求得A、B、C的坐标，根据对称性求得抛物线的解析式

(2) 根据对称性求得四边形AC1A1C是平行四边形

（3）通过抛物线求得A、B的坐标，求得AB、BC长，要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足，从而求得a,b的关系式