Question

如图，AB是⊙O的直径，点E是上一点，∠DAC=∠AED．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2） 若点E是的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5， CD=4时，求DF的值．

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）证明，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线．

（2）由△ADC∽△BAC可求得AC=6，由点E是的中点，证明△CAE是等腰三角形，即CA=CF=6，从而求得DF的值．

（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ADC=90°．

∵∠B=∠AED =∠CAD，∠C=∠C，

∴．

∴∠BAC=∠ADC=90°．

∴AC是⊙O的切线．

（2）可证△ADC∽△BAC．

∴ ，即AC2=BC×CD=36．解得 AC=6．

∵点E是的中点，

∴∠DAE=∠BAE．

∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，

∴CA=CF=6，

∴DF=CA﹣CD=2．

考点：1．圆周角定理；2．三角形内角和定理；3．切线的判定；4．相似三角形的判定和性质；5．等腰三角形的判定．