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    如图，抛物线与轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与轴交于点C(0，3)．

    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

    (2)若P为线段BD上的一个动点，点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示点P的纵坐标；

    (3)过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；

    (4)若点F是第一象限抛物线上的一个动点，过点F作FQ∥AC交x轴于点Q．当点F的坐标为           时，四边形FQAC是平行四边形；当点F的坐标为            时，四边形FQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)．

     

    【答案】

    （1），（1，4）；(2) ； (3)，（）；(4) （2，3）；（）.

    【解析】

    试题分析：（1）抛物线的解析式为：,将点C(0，3)代入即可求出抛物线的解析式，再化成顶点式从而求出顶点坐标D.

    (2)先求出直线BD的解析式为，∵点P的横坐标为m∴点P的纵坐标为：.

    (3)用割补法求出，再配成顶点式，∵，∴当时，四边形PMAC的面积取得最大值为

    此时点P的坐标为（）.

    (4)四边形PQAC为平行四边形或等腰梯形时，需要结合几何图形的性质求出P点坐标：①当四边形PQAC为平行四边形时，如答图1所示．构造全等三角形求出P点的纵坐标，再利用P点与C点关于对称轴x=1对称的特点，求出P点的横坐标；②当四边形PQAC为平行四边形时，如答图2所示．利用等腰梯形、平行四边形、全等三角形以及线段之间的三角函数关系，求出P点坐标．

                     

    答图1                                              答图2

    试题解析：（1）∵抛物线与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，

    ∴可设抛物线的解析式为：

    又∵抛物线 与y轴交于点C(0，3)，

    ∴

    ∴

    ∴

    即抛物线的解析式为：

    ∴

    ∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）

    （2）设直线BD的解析式为：

    由B（3，0），D（1，4）得

    解得

    ∴直线BD的解析式为

    ∵点P在直线PD上，点P的横坐标为m

    ∴点P的纵坐标为：

    （3）由（1），（2）知：

    OA=1，OC=3，OM=m，PM=

    ∴

    ∵，∴当时，四边形PMAC的面积取得最大值为.

    此时点P的坐标为（）.

    （4）（2，3）；（）.

    考点:二次函数及其应用

     

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    如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。（14分）

    （1）求抛物线的解析式；

    （2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；

    （3）点在（1）中抛物线上，

    点为抛物线上一动点，在轴上是

    否存在点，使以为顶

    点的四边形是平行四边形，如果存在，

    求出所有满足条件的点的坐标，

    若不存在，请说明理由。

     

     

     

     

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线与轴交于两点，与轴相交于点．连结AC、BC，B、C两点的坐标分别为B（1，0）、，且当x=-10和x=8时函数的值相等．

     

     

    1.求a、b、c的值；

    2.若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．连结，将沿翻折，当运动时间为几秒时，点恰好落在边上的处？并求点的坐标及四边形的面积；

    3.上下平移该抛物线得到新的抛物线，设新抛物线的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，若△ODE与△OBC相似，求新抛物线的解析式。

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.

    （1）求C点的坐标及抛物线的解析式；

    （2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90º后再沿轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；

    （3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.                                                                                     

           

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    科目：初中数学 来源：2013届四川省盐边县红格中学九年级下学期摸底考试数学试卷（带解析） 题型：解答题

    如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点.

    （1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐标；
    （2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；
    （3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.

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    科目：初中数学 来源：2012届仙师中学九年级第一次月考试考试数学卷 题型：选择题

    如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。（14分）

    （1）求抛物线的解析式；

    （2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；

    （3）点在（1）中抛物线上，

    点为抛物线上一动点，在轴上是

    否存在点，使以为顶

    点的四边形是平行四边形，如果存在，

    求出所有满足条件的点的坐标，

    若不存在，请说明理由。

     

     

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