【题目】如图，已知等腰直角三角形
中，
、
、
分别为边
、
、
的中点，点
为斜边所在直线上一动点，且三角形
为等腰直角三角形（
，、、
呈逆时针）．
如图
点在边上，判断
和
的数量和位置关系，请直接写出你的结论．
如图
点在
点左侧时；如图
，点在
点右侧．其他条件不变，中结论是否仍然成立，并选择图或图的一种情况来说明理由．
在图中若
，连接
，请猜测与的数量关系，即
________．（用含
的三角函数的式子表示）
【答案】（1）AN=MF且AN⊥MF；（2）成立，证明详见解析；（3）（sinα+cosα）．
【解析】
（1）连接DF，则DF就是△ABC的中位线，即可得△BDF是等腰直角三角形，所以BD=DF=AD，由∠AND+∠FDN=90°，∠FDM+∠FDN=90°可得∠AND=∠FDM，在△AND和△FDM中，DN=DM，∠AND=∠FDM，AD=DF，利用SAS判定△AND≌△FDM，根据全等三角形的性质可得AN=FM，∠DAN=∠DFM=45°，根据等腰三角形的三线合一的性质即可得AN⊥MF；（2）成立，选择图②，类比（1）的方法即可证明；（3）证明△DAN≌△EAN，得出EN=DN，进一步得出DM=EN，作DH⊥BC于H，由∠DFM=45°，证得△DHF是等腰直角三角形，得出FH=DH，然后解直角三角形得出MH=DMsinα，DH=DMcosα，从而得出MF=MH+FH=DM（sinα+cosα）=（sinα+cosα）EN．
（1）AN=MF且AN⊥MF；
（2）成立．
连接DF，NF，如图2①，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DF∥AC，DF=
AC=AB=AD，
∴∠BDF=90°，∠MFD=∠C=45°，
∴∠MDN=∠BDF，
∴∠FDM=∠ADN，
在△FDM和△ADN中，
，
∴△FDM≌△ADN（SAS），
∴FM=AN，∠DAN=∠MFD=45°．
∴AN是∠BAC的平分线，
∴AN⊥BC，
即AN⊥MF；
（3）由（2）可知：∠DAN=∠EAN，如图2②，
∵D、E分别为边AB、ACC的中点，AB=AC，
∴AD=AE，
在△DAN和△EAN中，
，
∴△DAN≌△EAN（SAS），
∴EN=DN，
∵DM=DN，
∴DM=EN，
作DH⊥BC于H，
∵∠DFM=45°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴FH=DH，
∵MH=DMsinα，DH=DMcosα，
∴FH=DH=DMcosα，
∴MF=MH+FH=DM（sinα+cosα）=（sinα+cosα）EN，
即MF=（sinα+cosα）EN；
故答案为：（sinα+cosα）．
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【题目】如图，半圆O的直径DE＝12 cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm.半圆O以2 cm/s的速度自左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上．设运动时间为t s，当t＝0时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8 cm.
(1)当t＝________s时，半圆O与AC所在直线第一次相切；点C到直线AB的距离为________．
(2)当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切？
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【题目】如图，在△OAB中，OA=OB，C为AB中点，以O为圆心，OC长为半径作圆， AO与⊙O交于点E，直线OB与⊙O交于点F和D，连接EF．CF，CF与OA交于点G．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）求证：ODEG=OGEF；
（3）若AB=4BD，求sinA的值．
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【题目】如图所示，以正方形
的顶点
为圆心的弧恰好与对角线
相切，以顶点
为圆心，正方形的边长为半径的弧，已知正方形的边长为
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】三个小岛
、
、
的位置如图所示，在处测得小岛在的北偏东
方向，在处测得小岛在的北偏东
方向，且、之间的距离是
海里，求：小岛在小岛的正东方向多少海里？（精确到
海里）（参考数据：
，
，
，
，
，
）
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【题目】列方程解应用题：京张高铁是一条连接北京市与河北省张家口市的城际铁路.2019年底，京张高铁正式开通，京张高铁是我国“八纵八横”高铁网的重要组成部分，也是2022年北京冬奥会重要的交通保障设施.已知该高铁全长约180千米，按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，全程用时比普通快车少用1个小时，求京张高铁列车的平均行驶速度.
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【题目】A，B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速行驶到B地，乙车从B地出发匀速行驶到A地．乙车行驶1小时后，甲车出发，两车相向而行．设行驶时间为x小时（0≤x≤5），甲、乙两车离A地的距离分别为y1，y2千米，y1，y2与x之间的函数关系图象如图1所示．根据图象解答下列问题：
（1）求y1，y2与x的函数关系式；
（2）乙车出发几小时后，两车相遇？相遇时，两车离A地多少千米？
（3）设行驶过程中，甲、乙两车之间的距离为s千米，在图2的直角坐标系中，已经画出了s与x之间的部分函数图象．
①图中点P的坐标为（1，m），则m＝ ；
②求s与x的函数关系式，并在图2中补全整个过程中s与x之间的函数图象．
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