Question

如图1，P（m，n）是抛物线y=

x2

4

-1上任意一点，l是过点（0，-2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．
【探究】
（1）填空：当m=0时，OP=

 

，PH=

 

；当m=4时，OP=

 

，PH=

 

；
【证明】
（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．
【应用】
（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=

x2

4

-1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题,两点间的距离,点到直线的距离,勾股定理

专题：代数几何综合题,探究型

分析：（1）m记为P点的横坐标．m=0时，直接代入x=0，得P（0，-1），则OP，PH长易知．当m=4时，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=y_P-（-2）．
（2）猜想OP=PH．证明时因为P为所有满足二次函数y=

x2

4

-1的点，一般可设（m，

m2

4

-1）．类似（1）利用勾股定理和PH=y_P-（-2）可求出OP与PH，比较即得结论．
（3）考虑（2）结论，即函数y=

x2

4

-1的点到原点的距离等于其到l的距离．要求A、B两点到l距离的和，即A、B两点到原点的和，若AB不过点O，则OA+OB＞AB=6，若AB过点O，则OA+OB=AB=6，所以OA+OB≥6，即A、B两点到l距离的和≥6，进而最小值即为6．

解答：（1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．
如图1，记PH与x轴交点为Q，

当m=0时，P（0，-1）．此时OP=1，PH=1．
当m=4时，P（4，3）．此时PQ=3，OQ=4，
∴OP=

PQ2+OQ2

=5，PH=y_P-（-2）=3-（-2）=5．

（2）猜想：OP=PH．
证明：过点P作PQ⊥x轴于Q，
∵P在二次函数y=

x2

4

-1上，
∴设P（m，

m2

4

-1），则PQ=|

m2

4

-1|，OQ=|m|，
∵△OPQ为直角三角形，
∴OP=

PQ2+OQ2

=

( m2 4 -1)2+m2

=

( m2 4 )2+ m2 2 +1

=

( m2 4 +1)2

=

m2

4

+1，
  PH=y_P-（-2）=（

m2

4

-1）-（-2）=

m2

4

+1，
∴OP=PH．

（3）解：如图2，连接OA，OB，过点A作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，此时AC即为A点到l的距离，BD即为B点到l的距离．

①当AB不过O点时，连接OA，OB，
在△OAB中，OA+OB＞AB=6，
由上述结论得：AC=OA，BD=OB，
∴AC+BD＞6；
②当AB过O点时，AC+BD=OA+OB=AB=6，
所以AC+BD的最小值为6，
即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6．

点评：本题考查了学生对函数与其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣，非常值得学生练习．