Question

已知：E是线段AC上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点D，使得∠EDB=∠EAB，联结AD．
（1）若直线EF与线段AB相交于点P，当∠EAB=60°时，如图1，求证：ED=AD+BD；
（2）若直线EF与线段AB相交于点P，当∠EAB=α（0°＜α＜90°）时，如图2，请你直接写出线段ED、AD、BD之间的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）若直线EF与线段AB不相交，当∠EAB=90°时，如图3，请你补全图形，写出线段ED、AD、BD之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,解直角三角形

专题：

分析：（1）作∠DAH=∠EAB交DE于点H，得到∠DAB=∠HAE，再根据三角形的内角的和定理求出∠ABD=∠AEH，然后利用“角边角”证明△ABD和△AEH全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=EH，AD=AH，再利用∠EAB=60°判断出△ADH是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AD=HD，然后根据ED=HD+EH等量代换即可得证；
（2）方法同（1），利用α和AD表示出DH，然后写出答案即可；
（3）作∠DAH=∠EAB交DE于点H，得到∠DAB=∠HAE，再根据三角形的内角和定理求出∠ABD=∠AEH，然后利用“角边角”证明△ABD和△AEH全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=EH，AD=AH，然后求出△ADH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得

2

AD=HD，再根据ED=EH-HD等量代换即可得证．

解答：（1）证明：作∠DAH=∠EAB交DE于点H，
∴∠DAB=∠HAE，
∵∠EAB=∠EDB，∠APE=∠BPD，
∴∠ABD=∠AEH，
在△ABD和△AEH中，

∠DAB=∠HAE AB=AE ∠ABD=∠AEH

，
∴△ABD≌△AEH（ASA），
∴BD=EH，AD=AH．，
∵∠DAH=∠EAB=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD=HD，
∵ED=HD+EH，
∴ED=AD+BD；

（2）方法同（1），
∵∠DAH=∠EAB=α，
∴HD=2ADsin

α

2

，
∴ED=2ADsin

α

2

+BD；

（3）ED=BD-

2

AD．
如图，作∠DAH=∠EAB交DE于点H，
∴∠DAB=∠HAE，
∵∠EDB=∠EAB=90°，
∴∠ABD+∠1=∠AEH+∠2=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠ABD=∠AEH，
在△ABD和△AEH中，

∠DAB=∠HAE AB=AE ∠ABD=∠AEH

，
∴△ABD≌△AEH（ASA），
∴BD=EH，AD=AH，
∵∠DAH=∠EAB=90°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴HD=

2

AD，
∵ED=EH-HD，
∴ED=BD-

2

AD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形和等边三角形是解题的关键，此类题目，往往都是求解思路相同，只是根据条件的变化结论稍作变更．