如图.已知矩形ABCD.AB=12cm.AD=10cm.⊙O与AD.AB.BC三边都相切.与DC交于点E.F．已知点P.Q.R分别从D.A.B三点同时出发.沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动.点P.Q.R的运动速度分别是1cm/s.xcm/s.1.5cm/s.当点Q到达点B时停止运动.P.R两点同时停止运动.设运动时间为t(1)求证:DE=CF,(2)设x=3.当△PAQ与� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知矩形ABCD，AB=12cm，AD=10cm，⊙O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F．已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm/s、xcm/s、1.5cm/s，当点Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动，设运动时间为t（单位：s）
（1）求证：DE=CF；
（2）设x=3，当△PAQ与△QBR相似时，求出t的值；
（3）设△PAQ关于直线PQ对称轴的图形是△PA′Q，当t和x分别为何值时，点A′与圆心O恰好重合，求出符合条件的t，x的值．

分析（1）作OG⊥EF于G，设⊙O与AD边相切于M，连接MO并延长交BC于N，则MN⊥AD，由矩形的性质和垂径定理证出DG=CG，EG=FG，即可得出结论；
（2）分两种情况：①当△PAQ∽△QBR时，得出$\frac{AP}{BQ}=\frac{AQ}{BR}$，求出t的值；②当△PAQ∽△RBQ时，得出$\frac{AP}{BR}=\frac{AQ}{BQ}$，求出t的值即可；
（3）根据题意得出AA′被直线PQ垂直平分，得出△APQ为等腰直角三角形，得出PQ=AA′=6$\sqrt{2}$，AP=AQ=6，得出$\left\{\begin{array}{l}{10-t=6}\\{tx=6}\end{array}\right.$，解方程即可．

解答（1）证明：作OG⊥EF于G，设⊙O与AD边相切于M，连接MO并延长交BC于N，如图1所示：
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴MN⊥BC，
∵BC是⊙O的切线，
∴N为切点，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD，
∵OG⊥CD，
∴DG=CG，EG=FG，
∴DE=CF；
（2）解：分两种情况：
①x=3时，0≤t≤4，∠A=∠B，
当△PAQ∽△QBR时，$\frac{AP}{BQ}=\frac{AQ}{BR}$，
即$\frac{10-t}{12-3t}$=$\frac{3t}{1.5t}$=2，
解得：t=$\frac{14}{5}$；
②当△PAQ∽△RBQ时，$\frac{AP}{BR}=\frac{AQ}{BQ}$，
即$\frac{10-t}{1.5t}=\frac{3t}{12-3t}$，
解得：t=2$\sqrt{69}$-14；
综上所述：t的值为$\frac{14}{5}$或2$\sqrt{69}$-14；
（3）解：如图2所示：根据题意得：AA′被直线PQ垂直平分，
∴△APQ为等腰直角三角形，
∴PQ=AA′=6$\sqrt{2}$，
∴AP=AQ=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10-t=6}\\{tx=6}\end{array}\right.$，
解得：t=4，x=$\frac{3}{2}$．

点评本题是圆的综合题目，考查了矩形的性质、切线的性质、垂径定理、三角形相似的性质、轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论，由相似三角形的对应边成比例得出比例式才能得出结果．

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