Question

18．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE=GF=GC 
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）当∠FGC=2x°，∠EFB=x°时，求证：四边形AEFG是矩形．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠B=∠GFC=∠C，根据平行线的判定可得GF∥AB，再由GF=AE，可得四边形AEFG是平行四边形；
（2）过G作GM⊥BC垂足为M，根据等腰三角形的性质可得∠FGC=2∠FGM，然后再证明∠EFG=90°，可得四边形AEFG是矩形．

解答 证明：（1）在梯形ABCD中，
∵AB=CD，
∴∠B=∠C，
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠C，
∴∠B=∠GFC，
∴GF∥AB，
∵GF=AE，
∴四边形AEFG是平行四边形；

（2）过G作GM⊥BC垂足为M，
∵GF=GC，
∴∠FGC=2∠FGM，
∵∠FGC=2x°，∠EFB=x°，
∴∠FGC=2∠EFB，
∴∠FGM=∠EFB，
∵∠FGM+∠GFM=90°，
∴∠EFB+∠GFM=90°，
∴∠EFG=90°，
∴平行四边形AEFG为矩形．

点评 此题主要考查了等腰梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定定理、平行线的性质等知识，掌握平行四边形和矩形的判定方法是解题关键．