（1）证明：如图1，∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM=∠BAM=90°．
∴∠ABM=90°-∠ABC=30°．
∴∠M=90°-∠ABM=60°．
同理：∠N=∠G=60°．
∴△MNG为等边三角形．
在Rt△ABM中，BM=
a，
在Rt△BCN中，BN=
a，
∴MN=BM+BN=
a．
（2）②：结论1成立．
证明：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点H作HM⊥BC于点M，
∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH=AH．
∵OE⊥BC，
∴OE∥HM，
∴四边形OEMH是矩形，
∴HM=OE．
在Rt△ODG中，OD=OG•sin∠DGO=OG•sin60°=
OG，
在Rt△OFH中，OF=OH•sin∠OHF=OH•sin60°=
OH，
在Rt△HMC中，HM=HC•sinC=HC•sin60°=
HC，
∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=
OG+
HC+
OH
=
（GH+HC）=
AC=
a．
（2）②：结论2成立．
证明：如图4，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：
BE
2+OE
2=OB
2=BD
2+OD
2①，
CF
2+OF
2=OC
2=CE
2+OE
2②，
AD
2+OD
2=AO
2=AF
2+OF
2③，
①+②+③得：BE
2+CF
2+AD
2=BD
2+CE
2+AF
2，
∴BE
2+CF
2+AD
2=（a-AD）
2+（a-BE）
2+（a-CF）
2=a
2-2AD•a+AD
2+a
2-2BE•a+BE
2+a
2-2CF•a+CF
2整理得：2a（AD+BE+CF）=3a
2
∴AD+BE+CF=
a．
分析：（1）本题中△ABC为等边三角形，AB=BC=a，∠ABC=60°，求出∠N，∠G的值，在直角△AMB、△CNB中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，这样就能证得MN=
a；
（2）判定①是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；
判断②是否成立，也要通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论②是否正确．
点评：本题中综合考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，由于知识点比较多，本题的难度比较大．
a；
a；结论2． AD+BE+CF=
a；
