Question

已知二次函数y=（k²-1）x²-（3k-1）x+2．
（1）二次函数的顶点在x轴上，求k的值；
（2）若二次函数与x轴的两个交点A、B均为整数点（坐标为整数的点），当k为整数时，求A、B两点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的定义及△=0列出不等式组，求出k的值即可；
（2）令（k²-1）x²-（3k-1）x+2=0，设二次函数与x轴的两个交点A、B为x₁，x₂，由于A、B均为整数点，则x₁，x₂为整数，
根据一元二次方程根与系数的关系即可求出k的整数值，代入原方程即可求出A、B两点的坐标．

解答：解：（1）∵二次函数y=（k²-1）x²-（3k-1）x+2的顶点在x轴上，
∴此函数的图象与x轴有一个交点，
∴

k2-1≠0 △=(3k-1)2-8(k2-1)=0

，解得k=3；
（2）令（k²-1）x²-（3k-1）x+2=0，设二次函数与x轴的两个交点A、B为x₁，x₂，
∵A、B均为整数点，
∴x₁，x₂为整数，
∴x₁•x₂为整数，
∵x₁•x₂=

2

k2-1

，
∵k为整数，
∴k=0，
把k=0代入方程（k²-1）x²-（3k-1）x+2=0得，x²-x-2=0，
解得，x₁=-1，x₂=2．
∴A、B两点的坐标分别为（-1，0）、（2，0）．
故答案为：k=0，A（-1，0）、B（2，0）．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．