如图.经过点A的抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴相交于B.C两点.O为坐标原点．(1)求抛物线的解析式,(2)将抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c向上平移$\frac{7}{2}$个单位长度.再向左平移m个单位长度得到新抛物线.若新抛物线的顶点P在△ABC内.直接写出m的取值范围,(3)点P为x轴下方的抛物线上的一个动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．如图，经过点A（0，-4）的抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点，O为坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c向上平移$\frac{7}{2}$个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，直接写出m的取值范围；
（3）点P为x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，求出当S取何值时，相应的点P有且只有2个？
（4）设点M在x轴上，∠OMA+∠OAB=∠ACB，求BM的长．

分析（1）只需运用待定系数法，将A、B两点坐标代入抛物线的解析式，即可解决问题；
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，如图1，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围；
（3））①当点P在直线AC下方时，作PH∥y轴，交x轴于H，交AC于D，如图2，设P（x，$\frac{1}{2}$x²-x-4），则D（x，x-4），从而有PD=x-4-（$\frac{1}{2}$x²-x-4）=-$\frac{1}{2}$ （x-2）²+2，可得S=S_△PDA+S_△PDC=$\frac{1}{2}$PD×OC=-（x-2）²+4，显然x=2时，S最大为4，则O＜S≤4；②当点P在直线AC上方时，如图3，易得O＜S＜12．根据①、②即可得到当S=4相应的点P有且只有2个；
（4）①当点M在点C的右边时，取OC中点E，连结AE，如图4，则有OE=OB=2．根据垂直平分线的性质可得AB=AE，根据等腰三角形的性质可得∠BAO=∠EAO，从而得到∠EAO+∠CAE=∠BAO+∠CAE=45°．由条件∠OMA+∠OAB=∠ACB=45°可得∠OMA=∠CAE，从而可得△AEC∽△MEA，根据相似三角形的性质即可求出ME，从而求出BM；②当点M在点C的左边时，取OC中点E，连结AE，如图5，同理可求出BM的值．

解答解：（1）将A（0，-4）、B（-2，0）代入抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{\frac{1}{2}×4-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式y=$\frac{1}{2}$x²-x-4；

（2）m的取值范围为0＜m＜$\frac{5}{2}$．
提示：由题可得，新抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$（x+m）²-（x+m）-4+$\frac{7}{2}$，
即y=$\frac{1}{2}$（x+m-1）²-1，则顶点P的坐标为（1-m，-1），如图1，

由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；
运用待定系数法求得直线AC的解析式为y=x-4，直线AB的解析式为y=-2x-4；
当点P在直线AB上时，-2（1-m）-4=-1，解得：m=$\frac{5}{2}$
当点P在直线AC上时，（1-m）-4=-1，解得：m=-2；
∴当点P在△ABC内时，-2＜m＜$\frac{5}{2}$
又∵m＞0，
∴0＜m＜$\frac{5}{2}$．

（3）①当点P在直线AC下方时，
作PH∥y轴，交x轴于H，交AC于D，如图2．

设P（x，$\frac{1}{2}$x²-x-4），则D（x，x-4），
∴PD=x-4-（$\frac{1}{2}$x²-x-4）=-$\frac{1}{2}$ （x-2）²+2
∴S=S_△PDA+S_△PDC=$\frac{1}{2}$PD•OH+$\frac{1}{2}$PD•HC
=$\frac{1}{2}$PD×OC=2PD
=-（x-2）²+4
∴x=2时，S最大为4，
∴0＜S≤4．
结合图象可知：当0＜S＜4时，每取一个S值，相应的点P有且只有2个，
当S=4时，相应的点P有且只有1个；
②当点P在直线AC上方时，如图3．

∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•OA=$\frac{1}{2}$×6×4=12．
∴O＜S＜12．
结合图象可知：当0＜S＜12时，每取一个S值，相应的点P有且只有1个．
综上所述：当点P在x轴下方时，0＜S＜4时相应的点P有且只有2个；

（4）①当点M在点C的右边时，
取OC中点E，连结AE，如图4，

则有OE=OB=2．
∵OA⊥BE，
∴AB=AE，
∴∠BAO=∠EAO．
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠EAO+∠CAE=45°，
∴∠BAO+∠CAE=45°．
∵∠OMA+∠OAB=∠ACB=45°，
∴∠OMA=∠CAE．
∵∠AEC=∠MEA，
∴△AEC∽△MEA，
∴$\frac{AE}{ME}$=$\frac{EC}{EA}$．
∵AE=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，EC=4-2=2，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{ME}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴ME=10，
∴BM=BE+ME=4+10=14．
②当点M在点C的左边时，取OC中点E，连结AE，如图5，

同理可得：BM=10．
综上所述：BM=14或10．

点评本题主要考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，在解决问题的过程中用到分类讨论、数形结合、割补法、临界值法等重要的数学思想方法，应熟练掌握．

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