Question

【题目】动手操作，探究：

探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．

已知：如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．并说明理由．

探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？

已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，请你利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．

探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF如图（3）所示，请你直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系．

Answer 1

【答案】探究一： 90°+∠A；探究二：（∠A+∠B）；探究三：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．

【解析】试题分析：

探究一：根据角平分线的定义可得∠PDC= ∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解.

探究二：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.

探究三：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.

试题解析：

探究一：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，

∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD=∠ACD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-∠ADC-∠ACD，

= 180°-（∠ADC+∠ACD），

=180°-（180°-∠A），

=90°+∠A；

探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，

∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-∠ADC-∠BCD，

=180°-（∠ADC+∠BCD），

=180°-（360°-∠A-∠B），

=（∠A+∠B）；

探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）×180°=720°，

∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，

∴∠PDC= ∠EDC，∠PCD=∠BCD，

∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-∠EDC-∠BCD，

=180°-（∠EDC+∠BCD），

=180°-（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），

=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，

即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．