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【题目】如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,∠CDA=∠CBD

1)求证:CD是⊙O的切线;

2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC4tanABD,求BE的长.

【答案】1)证明见解析;(23

【解析】

1)连ODOE,根据圆周角定理得到∠ADO+∠190°,而∠CDA=∠CBD,∠CBD=∠1,于是∠CDA+∠ADO90°

2)根据切线的性质得到EDEBOEBD,则∠ABD=∠OEB,得到tanCDAtanOEB,易证RtCDORtCBE,得到,求得CD,然后在RtCBE中,运用勾股定理可计算出BE的长.

1)连ODOE,如图,

∵AB为直径,

∴∠ADB90°,即∠ADO+∠190°

∵∠CDA∠CBD

∠CBD∠1

∴∠1∠CDA

∴∠CDA+∠ADO90°,即∠CDO90°

∴CD⊙O的切线;

2)解:∵EB⊙O的切线,

∴EDEBOE⊥DB

∴∠ABD+∠DBE90°∠OEB+∠DBE90°

∴∠ABD∠OEB

∴∠CDA∠OEB

tan∠ABD

∴tan∠CDA

∴tan∠OEB

∵Rt△CDO∽Rt△CBE

∴CD×42

Rt△CBE中,设BEx

x+22x2+42

解得x3

BE的长为3

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