Question

【题目】解决下列两个问题：

（1）如图（1），在中，，，垂直平分，点在直线上，直接写出的最小值，并在图中标出当取最小值时点的位置；

（2）如图（2），点，在的内部，请在的内部求作一点，使得点到两边的距离相等，且使．（尺规作图，保留作图痕迹，无需证明）．

Answer 1

【答案】（1）4，图见解析；（2）作图见解析

【解析】

（1）根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．

（2）作∠AOB的平分线OE，作线段MN的垂直平分线GH，GH交OE于点P，点P即为所求．

解：（1）点P的位置如图所示：

∵EF垂直平分BC，

∴B、C关于EF对称，

设AC交EF于D，

∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，即最小值为4．

故答案为：4．

（2）如图，①作∠AOB的平分线OE，②作线段MN的垂直平分线GH，GH交OE于点P，则点P即为所求．