Question

8．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=3$\sqrt{3}$，点E在CB的延长线上，且BE=$\sqrt{3}$，连结AE，G是BA延长线上一点，连结EG，交CA的延长线于M，将△AEG绕点A逆时针旋转60°得到△AE′G′（点E的对应点为E′，点G的对应点为G′）．若△EGG′的面积为6$\sqrt{3}$，则CM的长为7．

Answer 1

分析 如图，先由矩形性质得BC=3$\sqrt{3}$，再利用勾股定理计算出AC=6，则可判断∠BAC=60°，同样在Rt△ABE中计算出AE=2$\sqrt{3}$，判断∠EAB=30°，则∠EAC=90°，接着根据旋转的性质得∠GAG′=60°，AG′=AG，于是可判断△AGG′为等边三角形，且点G′在CA的延长线上，设AG=a，利用S_△AGG′+S_△AG′E+S_△ABE=S_△EGG′+S_△GBE可得到关于a的方程，整理得a²+2a-24=0，解得a₁=4，a₂=-6（舍去），即AG=AG′=4，作GH⊥AG′于H，如图，根据等边三角形的性质得AH=$\frac{1}{2}$AG′=2，GH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG=2$\sqrt{3}$，然后证明△AEM≌△HGM得AM=HM=$\frac{1}{2}$AH=1，所以CM=CA+AM=7．

解答 解：如图，
∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=3$\sqrt{3}$，
∴BC=3$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=6，
∴∠BAC=60°，
在Rt△ABE中，∵BE=$\sqrt{3}$，AB=3，
∴AE=$\sqrt{B{E}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴∠EAB=30°，
∴∠EAC=90°，
∵△AEG绕点A逆时针旋转60°得到△AE′G′（点E的对应点为E′，点G的对应点为G′），
∴∠GAG′=60°，AG′=AG，
∴△AGG′为等边三角形，且点G′在CA的延长线上，
设AG=a，
∵S_△AGG′+S_△AG′E+S_△ABE=S_△EGG′+S_△GBE，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²+$\frac{1}{2}$•a•2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$•3=6$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$•（a+3），
整理得a²+2a-24=0，解得a₁=4，a₂=-6（舍去），
∴AG=AG′=4，
作GH⊥AG′于H，如图，则AH=$\frac{1}{2}$AG′=2，GH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG=2$\sqrt{3}$，
在△AEM和△HGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠HMG}\\{∠MAE=∠MHG}\\{AE=HG}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△HGM，
∴AM=HM=$\frac{1}{2}$AH=1，
∴CM=CA+AM=1+6=7．
故答案为7．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了矩形的性质和三角形面积公式．