Question

13．如图，已知，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC的中点，F为DE的中点
（1）如图1，若AC=4，BC=6，求CF的长；
（2）若AB=16CF，求$\frac{AC}{CB}$的值；
（3）若AC＞BC，AC-BC=a，取DC的中点G，CE的中点H，GH的中点P，求CP的长（用含a的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）由D为AC的中点，E为BC的中点得到DC=$\frac{1}{2}$AC=2，CE=$\frac{1}{2}$BC=3，则可计算出DE=5，再利用F为DE的中点得到DF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{5}{2}$，然后利用CF=DF-DC求解；
（2）设AC=x，BC=y，易得DE=DC+CE=$\frac{1}{2}$（x+y），再计算出DF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{4}$（x+y），所以CF=DF-DC=$\frac{1}{4}$（y-x），接着利用AB=16CF得到x+y=16•$\frac{1}{4}$（y-x），化简后有5x=3y，然后利用比例性质即可得到$\frac{AC}{CB}$的值；
（3）如图，设AC=x，BC=y，即x-y=a，利用线段中点定义得到DC=$\frac{1}{2}$x，CE=$\frac{1}{2}$y，则HC=$\frac{1}{4}$x，CH=$\frac{1}{4}$y，所以GH=$\frac{1}{4}$（x+y），再利用GH的中点为P得到GP=$\frac{1}{2}$GH=$\frac{1}{8}$（x+y），于是可计算出PC=GC-GP=$\frac{1}{8}$（x-y），即有CP=$\frac{1}{8}$a．

解答 解：（1）∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=$\frac{1}{2}$AC=2，CE=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴DE=DC+CE=2+3=5，
∵F为DE的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{5}{2}$，
∴CF=DF-DC=$\frac{5}{2}$-2=$\frac{1}{2}$；
（2）设AC=x，BC=y，则DC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$x，CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$y，
∴DE=DC+CE=$\frac{1}{2}$（x+y），
∵F为DE的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{4}$（x+y），
∴CF=DF-DC=$\frac{1}{4}$（x+y）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{4}$（y-x）；
∵AB=16CF，
∴x+y=16•$\frac{1}{4}$（y-x），
∴5x=3y，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{3}{5}$，
即$\frac{AC}{BC}$的值为$\frac{3}{5}$；
（3）如图，
设AC=x，BC=y，即x-y=a，则DC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$x，CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$y，
∵DC的中点为G，CE的中点为H，
∴GC=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{4}$x，CH=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{4}$y，
∴GH=$\frac{1}{4}$（x+y），
∵GH的中点为P，
∴GP=$\frac{1}{2}$GH=$\frac{1}{8}$（x+y），
∴PC=GC-GP=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{8}$（x+y）=$\frac{1}{8}$（x-y），
∴PC=$\frac{1}{8}$a．

点评 本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．理清线段之间的关系是解决本题的关键．