Question

如图，抛物线y=ax²过点A（1，1），点B（m，n）在抛物线上运动，在线段AB上取一点Q，使得BQ=2QA．
（1）当点B的横坐标m=-2时，求点Q的坐标；
（2）过Q点作x轴的垂线交抛物线于点M，在线段QM的延长线上取一点P，使得QM=2MP，求点P（x，y）的纵坐标y与横坐标x满足的解析式．

Answer 1

解：（1）由点A在抛物线上，得a=1，
由点B在抛物线上，
n=m²=4，得：B（-2，4）
过Q点作x轴的平行线EF，过点A、B作x轴垂线分别交EF于F、E点，
设点Q （x₁，y₁），E （-2，y₁），F（1，y₁），
又可证得：△QFA∽△QEB，
∴===2，EQ=2QF，EB=2AF，
EQ=x₁+2，QF=1-x₁，
∴x₁+2=2（1-x₁），x₁=0，
同理得：EB=4-y₁，AF=y₁-1，4-y₁=2 （y₁-1），y₁=2
∴Q（0，2）；

（2）由题意知：Q，P，M三点在同一条垂直于x轴的直线上，
点P（x，y），则M （x，x²），
设Q（x，y₁），
由QM=2MP得：y₁-x²=2（x²-y），y₁=3x²-2y ①
由（1）知：EQ=2QF，EB=2AF，
EQ=x-m，QF=1-x，x-m=2（1-x） ②
EB=n-y₁，AF=y₁-1，n-y₁=2 （y₁-1）③
由②得：m=3x-2
由③得：n=3y_l-2=3（3x²-2y）-2=9x²-6y-2，
又∵点B在抛物线上
∴n=m²，即：9x²-6y-2=（ 3x-2）²
解得：y=2x-1．
分析：（1）将点A（1，1）代入抛物线y=ax²，可求抛物线的解析式，根据点B在抛物线上，则n=m²=4，可得B（-2，4），过Q点作x轴的平行线EF，过点A、B作x轴垂线分别交EF于F、E点，设点Q （x₁，y₁），E （-2，y₁），F（1，y₁），根据相似三角形的判定和性质可得点Q的坐标；
（2）由题意知：Q，P，M三点在同一条垂直于x轴的直线上，点P（x，y），则M （x，x²），设Q（x，y₁），由QM=2MP得：y₁-x²=2（x²-y），y₁=3x²-2y ①由（1）知：EQ=2QF，EB=2AF，EQ=x-m，QF=1-x，x-m=2（1-x）②，EB=n-y₁，AF=y₁-1，n-y₁=2 （y₁-1）③，依此即可得到点P（x，y）的纵坐标y与横坐标x满足的解析式．
点评：考查了二次函数综合题，该题涉及到利用待定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定和性质，方程组的求解等重点知识，同时注意辅助线的作法．