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【题目】如图,△ABC中,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,连接DE.

(1)若AB=BC,DE=1,BE=3,求△ABC的周长;

(2)如图2,若AB=BC,AD=BD,∠ADB的角平分线DF交BE于点F,求证:BF=DE;

(3)如图3,若AB≠BC,AD=BD,将△ADC沿着AC翻折得到△AGC,连接DG、EG,请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系,并证明你的结论.

【答案】(1) 2+2;(2)证明见解析;(3)BE=DG+AE;理由见解析.

【解析】

试题分析:(1)由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=AC=AE,AC=2DE=2,AE=1,由勾股定理求出AB,得出BC,即可得出结果;

(2)连接AF,由等腰三角形的性质得出∠3=∠4,证出△ABD是等腰直角三角形,得出∠DAB=∠DBA=45°,∠3=22.5°,由ASA证明△ADF≌△BDF,得出AF=BF,∠2=∠3=22.5°,证出△AEF是等腰直角三角形,得出AF=AE,即可得出结论;

(3)作DH⊥DE交BE于H,先证明△ADE≌△BDH,得出DH=DE,AE=BH,证出△DHE是等腰直角三角形,得出∠DEH=45°,∠3=45°,由翻折的性质得出DE=GE,∠3=∠4=45°,证出DH=GE,DH∥GE,证出四边形DHEG是平行四边形,得出DG=EH,即可得出结论.

试题解析:(1)如图1所示:

∵AB=BC,BE⊥AC,

∴AE=CE,∠AEB=90°,

∵AD⊥BC,

∴∠ADC=90°,

∴DE=AC=AE,

∴AC=2DE=2,AE=1,

∴AB=

∴BC=

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+2;

(2)连接AF,如图2所示:

∵AB=BC,BE⊥AC,

∴∠3=∠4,

∵∠ADC=90°,AD=BD,

∴△ABD是等腰直角三角形,

∴∠DAB=∠DBA=45°,

∴∠3=22.5°,

∵∠1+∠C=∠3+∠C=90°,

∴∠1=∠3=22.5°,

∵DF平分∠ABD,

∴∠ADF=∠BDF,

在△ADF和△BDF中,

∴△ADF≌△BDF(SAS),

∴AF=BF,∠2=∠3=22.5°,

∴∠EAF=∠1+∠2=45°,

∴△AEF是等腰直角三角形,

∴AF=AE,

∵DE=AE,

∴BF=DE;

(3)BE=DG+AE;理由如下:

作DH⊥DE交BE于H,如图3所示:

∵BE⊥AC,AD⊥BC,

∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°,

∴∠1=∠2,

∴∠ADE=90°-∠ADH=∠BDH,

在△ADE和△BDH中,

∴△ADE≌△BDH(ASA),

∴DH=DE,AE=BH,

∴△DHE是等腰直角三角形,

∴∠DEH=45°,

∴∠3=90°-∠DEH=45°,

∵△ACD翻折至△ACG,

∴DE=GE,∠3=∠4=45°,

∴∠DEG=∠EDH=90°,DH=GE,

∴DH∥GE,

∴四边形DHEG是平行四边形,

∴DG=EH,

∴BE=EH+BH=DG+AE.

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