【题目】如图,△ABC中,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,连接DE.
(1)若AB=BC,DE=1,BE=3,求△ABC的周长;
(2)如图2,若AB=BC,AD=BD,∠ADB的角平分线DF交BE于点F,求证:BF=DE;
(3)如图3,若AB≠BC,AD=BD,将△ADC沿着AC翻折得到△AGC,连接DG、EG,请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系,并证明你的结论.
【答案】(1) 2+2;(2)证明见解析;(3)BE=DG+AE;理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=AC=AE,AC=2DE=2,AE=1,由勾股定理求出AB,得出BC,即可得出结果;
(2)连接AF,由等腰三角形的性质得出∠3=∠4,证出△ABD是等腰直角三角形,得出∠DAB=∠DBA=45°,∠3=22.5°,由ASA证明△ADF≌△BDF,得出AF=BF,∠2=∠3=22.5°,证出△AEF是等腰直角三角形,得出AF=AE,即可得出结论;
(3)作DH⊥DE交BE于H,先证明△ADE≌△BDH,得出DH=DE,AE=BH,证出△DHE是等腰直角三角形,得出∠DEH=45°,∠3=45°,由翻折的性质得出DE=GE,∠3=∠4=45°,证出DH=GE,DH∥GE,证出四边形DHEG是平行四边形,得出DG=EH,即可得出结论.
试题解析:(1)如图1所示:
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴AE=CE,∠AEB=90°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴DE=AC=AE,
∴AC=2DE=2,AE=1,
∴AB=,
∴BC=,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+2;
(2)连接AF,如图2所示:
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴∠3=∠4,
∵∠ADC=90°,AD=BD,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴∠DAB=∠DBA=45°,
∴∠3=22.5°,
∵∠1+∠C=∠3+∠C=90°,
∴∠1=∠3=22.5°,
∵DF平分∠ABD,
∴∠ADF=∠BDF,
在△ADF和△BDF中,
,
∴△ADF≌△BDF(SAS),
∴AF=BF,∠2=∠3=22.5°,
∴∠EAF=∠1+∠2=45°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=AE,
∵DE=AE,
∴BF=DE;
(3)BE=DG+AE;理由如下:
作DH⊥DE交BE于H,如图3所示:
∵BE⊥AC,AD⊥BC,
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°,
∴∠1=∠2,
∴∠ADE=90°-∠ADH=∠BDH,
在△ADE和△BDH中,
,
∴△ADE≌△BDH(ASA),
∴DH=DE,AE=BH,
∴△DHE是等腰直角三角形,
∴∠DEH=45°,
∴∠3=90°-∠DEH=45°,
∵△ACD翻折至△ACG,
∴DE=GE,∠3=∠4=45°,
∴∠DEG=∠EDH=90°,DH=GE,
∴DH∥GE,
∴四边形DHEG是平行四边形,
∴DG=EH,
∴BE=EH+BH=DG+AE.
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【题目】如图所示,△ABC的外接圆圆心O在AB上,点D是BC延长线上一点,DM⊥AB于M,交AC于N,且AC=CD.CP是△CDN的ND边的中线.
(1)求证:△ABC≌△DNC;
(2)试判断CP与⊙O的位置关系,并证明你的结论。
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )
A.11 B.17 C.17或19 D.19
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【题目】如图,在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN,在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向,且与O相距20千米的A处;经过40分钟,又测得该轮船位于O的正北方向,且与O相距20千米的B处.
(1)求该轮船航行的速度;
(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.(参考数据:,)
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】给出4个命题:①三边对应成比例的两个三角形相似;②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似;③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似;④一个角相等的两个等腰三角形相似,其中正确的命题是( )
A. ①③ B. ①④ C. ①②④ D. ①③④
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