Question

18、在直角坐标系内，点O为坐标原点，二次函数y=x²+（k-5）x-（k+4）的图象交x轴于A（x₁，0）、B（x₂，0），且（x₁+1）（x₂+1）=-8：
（1）求二次函数的解析式；
（2）请你对此图象设计一种变换方案，使变换后的图象经过原点．

Answer 1

分析：（1）由于二次函数y=x²+（k-5）x-（k+4）的图象交x轴于A（x₁，0）、B（x₂，0），且（x₁+1）（x₂+1）=-8，而根据根与系数的关系可以得到 x₁+x₂=-（k-5），x₁•x₂=-（k+4），利用这些化简前面的等式即可求出k，也就求出了二次函数的解析式；
（2）由于平移抛物线的形状没有改变，由此得到二次项系数没有改变，然后根据变换后的图象经过原点求出解析式，从而可以确定变换方案．

解答：解：∵二次函数y=x²+（k-5）x-（k+4）的图象交x轴于A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-（k-5），x₁•x₂=-（k+4），
而（x₁+1）（x₂+1）=-8，
∴x₁+x₂+x₁•x₂+1=-8，
∴-（k-5）-（k+4）=-9，
∴k=5，
∴二次函数的解析式y=x²-9；
（2）∵二次函数的解析式为y=x²-9，
∴把这个函数图象沿y轴向上平移9个单位长度后抛物线就经过原点．

点评：此题分别考查了抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法确定函数解析式及抛物线与几何图形变换等知识，有一定的综合性，应该加强这些知识的训练才能很好解决这类问题．