Question

16．如图，E是△ABC的边AB上一点，以AE为直径的⊙O经过BC上的一点D，且OD∥AC，∠ADE的平分线DF交AB于G，交⊙O于F，且BD=BG
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：BC与⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质，由OD∥AC得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，所以∠1=∠2，即AD平分∠BAC；
（2）连接OF，如图，由于∠ADE的平分线DF交AB于G，根据圆周角定理得$\widehat{AF}$=$\widehat{EF}$，再利用垂径定理得OF⊥AE，则∠F+∠OGF=90°，于是∠F+∠BGD=90°，接着根据等腰三角形的性质得∠BDG=∠BGD，∠F=∠ODF，所以∠ODF+∠BDG=90°，然后根据切线得判定定理即可得到BC与⊙O相切．

解答 证明：（1）∵OD∥AC，
∴∠1=∠3，
∵OD=OA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD平分∠BAC；
（2）连接OF，如图，
∵∠ADE的平分线DF交AB于G
∴$\widehat{AF}$=$\widehat{EF}$，
∴OF⊥AE，
∴∠F+∠OGF=90°，
∵∠OGF=∠BGD，
∴∠F+∠BGD=90°，
∵BD=BG，
∴∠BDG=∠BGD，
∵OD=OF，
∴∠F=∠ODF，
∴∠ODF+∠BDG=90°，
即∠ODB=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC与⊙O相切．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．